Question

【题目】一种室内植物的株高（单位：）与与一定范围内的温度（单位：）有，现收集了该种植物的组观测数据，得到如图所示的散点图：

现根据散点图利用或建立关于的回归方程，令，，得到如下数据：

且与的相关系数分别为、，其中．

（1）用相关系数说明哪种模型建立关于的回归方程更合适；

（2）（i）根据（1）的结果及表中数据，求关于的回归方程；

（ii）已知这种植物的利润（单位：千元）与、的关系为，当何值时，利润的预报值最大.

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，

相关系数，．

Answer 1

【答案】（1）用模型建立与的回归方程更合适；（2）（i）；

（ii）当温度为时，这种草药的利润的预报值最大.

【解析】

（1）利用相关系数公式计算出相关系数的值，并比较、的大小关系，选择相关系数绝对值较大的模型较好；

（2）（i）将相关数据代入最小二乘法公式得出和的值，可得出关于的回归方程；

（ii）先得出关于的函数解析式，然后利用基本不等式求出的最大值，并注意等号成立的条件，从而解答该问题.

（1）由相关系数公式可得

，

，所以用模型建立与的回归方程更合适；

（2）（i）由题意可得，

，

因此，关于的回归方程为；

（ii）由题意知，

由基本不等式可得，所以，

当且仅当时等号成立，

所以当温度为时，这种草药的利润的预报值最大.