Question

2．已知f′（x）为函数f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+（3-a）{x^2}$-7x+5（a＞0）的导函数，当x∈[-2，2]时，|f′（x）|≤7恒成立，则f（x）=x³-7x+5．

Answer 1

分析 由于f′（x）=ax²+2（3-a）x-7，其对称轴方程为：x=$\frac{-2（3-a）}{2a}$=$\frac{a-3}{a}$，依题意可得到$\left\{\begin{array}{l}{|f′（-2）|≤7}\\{|f′（2）|≤7}\\{|f′（\frac{a-3}{a}）|≤7}\end{array}\right.$，解之即可求得a的值，从而可得f（x）的解析式，

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+（3-a）{x^2}$-7x+5（a＞0），
∴f′（x）=ax²+2（3-a）x-7，其对称轴方程为：x=$\frac{-2（3-a）}{2a}$=$\frac{a-3}{a}$，
∵当x∈[-2，2]时，|f′（x）|≤7恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|f′（-2）|≤7}\\{|f′（2）|≤7}\\{|f′（\frac{a-3}{a}）|≤7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{|8a-19|≤7}\\{5≤7}\\{|a+\frac{9}{a}+1|≤7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}≤a≤\frac{13}{4}}\\{a+\frac{9}{a}≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}≤a≤\frac{13}{4}}\\{{（a-3）}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得：a=3．
∴f（x）=x³-7x+5，
故答案为：x³-7x+5．

点评 本题考查函数恒成立问题，依题意，得到$\left\{\begin{array}{l}{|f′（-2）|≤7}\\{|f′（2）|≤7}\\{|f′（\frac{a-3}{a}）|≤7}\end{array}\right.$是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．