Question

已知：数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，c_n=a_n-b_n，c₁=0，c2=

1

6

，c3=

2

9

，c4=

7

54

．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和：a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1．

Answer 1

分析：（1）根据c_n=a_n-b_n，c₁=0，c2=

1

6

，c3=

2

9

，c4=

7

54

建立方程组，解之即可求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）讨论n的奇偶，当n偶数时，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n（a_n-1-a_n+1），当n奇数时，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n-1（a_n-2-a_n）+a_na_n+1进行求解即可．

解答：解：（1）c₁=0，则c₁=a₁-b₁=0
c2=

1

6

=a₁+a₂+b₁+b₂=2a₁+d+b₁+b₁q
c3=

2

9

=3a₁+3d+b₁+b₁q+b₁q²
c4=

7

54

=4a₁+6d+b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³．
解得：a₁=b₁=1，d=

1

2

，q=

4

3

∴an=

n+1

2

，bn=(

4

3

)n-1
（2）当n偶数时，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=-（a₂+a₄+…+a_n）
=-

n(n+4)

8

当n奇数时，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n-1（a_n-2-a_n）+a_na_n+1
=-

(n-1)(n+3)

8

+

n+1

2

×

n+2

2

=

n2+4n+7

8

点评：本题主要考查了数列的求和，以及等差数列与等比数列的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．