Question

11．已知不等式（a-1）x²-2$\sqrt{2}$xy+ay²≥0对一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值是2．

Answer 1

分析 先将原不等式变形，通过换元法结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴（a-1）x²-2$\sqrt{2}$xy+ay²≥0
?2$\sqrt{2}$xy≤（a-1）x²+ay²
?（a-1）${（\frac{x}{y}）}^{2}$-2$\sqrt{2}$×$\frac{x}{y}$+a≥0，
令t=$\frac{x}{y}$（t＞0），f（t）=（a-1）t²-2$\sqrt{2}$t+a，
依题意：$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{f（\frac{\sqrt{2}}{a-1}）≥0}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{（a-1{）（\frac{\sqrt{2}}{a-1}）}^{2}-2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{a-1}+a≥0}\end{array}\right.$，
解得a≥2
∴实数a的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查转化与构造函数思想，考查解不等式组的能力，属中档题．