Question

已知四棱锥P－ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点．

(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求点E到平面PBC的距离；

(3)求二面角A－BE－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点． 　　又E为AD的中点，∴EF∥PC 　　又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．EF平面EBD． 　　∴平面EBD⊥平面ABCD． 　　(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC 　　∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离 　　过F作FH⊥BC交BC于H， 　　∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD 　　∴PC⊥FH． 　　又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离． 　　∵∠FCH＝30°，CF＝a． 　　∴FH＝CF＝a． 　　(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD， 　　∴AF⊥平面BDC． 　　∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE， 　　∴∠FGA为二面角D－BE－A的平面角． 　　FG＝×＝a，AF＝a． 　　∴tan∠FGA＝＝，∠FAG＝arctg 　　即二面角A－BE－D的大小为arctg