Question

（2012•漳州模拟）已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，（a＞1）．
（I）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，确定f'（x）＞0，即可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，转化为f（x）=t±1共有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点，根据t-1＜t+1，可得f（x）=t+1有两个根，f（x）=t-1只有一个根，从而可求t的值；
（Ⅲ）问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，构造函数可得f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，从而问题转化为a-lna≤e-1，即可求得a的取值范围．

解答：（I）证明：求导函数，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）解：令f'（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值1	递增

因为函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以f（x）=t±1共有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
y=f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）
（Ⅲ）解：问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，
f(-1)=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，f(1)-f(-1)=a-

1

a

-2lna，
记g(x)=x-

1

x

-2lnx，（x≥1），则g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2≥0（仅在x=1时取等号）
∴g(x)=x-

1

x

-2lnx是增函数，
∴当a＞1时，g(a)=a-

1

a

-2lna＞g(1)=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，
故对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
当x≥1时，(x-lnx)′=

x-1

x

≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）单调递增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用导数确定函数的最值．