精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设函数f(x)=ln(x+a)+x2
(1)若a=,解关于x不等式
(2)证明:关于x的方程2x2+2ax+1=0有两相异解,且f(m)和f(n)分别是函数f(x)的极小值和极大值(m,n为该方程两根,且m>n).

(1)解:a=时,求导函数可得

=. 
f(x)的定义域为(﹣,+∞).    
当﹣<x<﹣1时,f'(x)>0;
当﹣1<x<时,f'(x)<0;
当x>时,f'(x)>0.
从而,f(x)在(﹣,﹣1),(,+∞)单调增加,在(﹣1,)单调减少.
,f()=
∴不等式等价于

∴0≤x<ln22即所求不等式的解集为{x|0≤x<ln22}.
(2)证明:依题意,f(x)的定义域为(﹣a,+∞),
令g(x)=2x2+2ax+1,因为g(﹣a)=1=g(0)>0,
g(x)的对称轴为x=﹣0.5a>﹣a,△=4a2﹣8a>0(a2>2),g(﹣a)=1>0
∴g(x)在(﹣a,+∞)有两个零点.即方程2x2+2ax+1=0有两相异解
由已知f(x)的定义域为{x|x>﹣a}且
若m,n(m>n)方程2x2+2ax+1=0有两相异解,则f'(x)>0的解集为(﹣a,n)∪(m,+∞)(∵a>0)

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=ln(x+a)+x2
(I)若当x=-1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性;
(II)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln
e2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)设函数f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,证明:当x>0时,f(x)>0;
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为P.证明:P<(
9
10
)
19
1
e2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•杨浦区一模)设函数f(x)=ln(x2-x-6)的定义域为集合A,集合B={x|
5x+1
>1}.请你写出一个一元二次不等式,使它的解集为A∩B,并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=ln(x+a)+x2(a>
2
)

(1)若a=
3
2
,解关于x不等式f(e
x
-
3
2
)<ln2+
1
4

(2)证明:关于x的方程2x2+2ax+1=0有两相异解,且f(m)和f(n)分别是函数f(x)的极小值和极大值(m,n为该方程两根,且m>n).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=ln(x+a)+2x2
(1)若当x=-1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)在(1)的条件下,方程ln(x+a)+2x2-m=0恰好有三个零点,求m的取值范围;
(3)当0<a<1时,解不等式f(2x-1)<lna.

查看答案和解析>>

同步练习册答案