练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△AA1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点）．
    （1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
    （2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
    （3）设，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

    【答案】分析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．
    （2）由得 =，即，猜测，
    再用数学归纳法进行证明．
    （3）用裂项法求得的值为，由函数在区间
    [1，+∞）上单调递增，且，求得，再由 A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}=
    {x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或，由此求得实常数a的取值范围．
    解答：解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．…（4分）
    （2）由得 =，
    即，猜测．      …（2分）
    证明：①当n=1时，可求得 ，命题成立． …（1分）
    ②假设当n=k时，命题成立，即有，…（1分）
    则当n=k+1时，由归纳假设及，
    得，
    即
    解得，（不合题意，舍去），
    即当n=k+1时，命题成立．   …（3分）
    综上所述，对所有n∈N*，．      …（1分）
    （3）==．…（2分）
    因为函数在区间[1，+∞）上单调递增，且，
    所以．…（2分）
    A={x|x2-2ax+a2-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
    由A∩B=φ，有a+1≤0，或 ，
    故，，即 实常数a的取值范围为 ．…（2分）
    点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
    （1）写出a1，a2，a3；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式；并用数学归纳法证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．则a1=
     
    ；猜想an关于n的表达式为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
    （1）写出a1，a2，a3；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式；
    （3）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
    1
    6
    ＞bn    恒成立，求实数t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
    （1）求a1、a2、a3的值；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
    （3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=
    1
    2
    x(y≥0)    上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
    （1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
    （2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
    （3）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案