Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）•cosA-acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围
（3）若a=

3

，S_△ABC=

3 3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求得结论；
（2）利用三角形的内角和，结合辅助角公式化简函数，确定B的范围，即可求sinB+sinC的取值范围；
（3）利用三角形的面积公式，结合余弦定理，即可判断△ABC的形状．

解答：解：（1）∵（2b-c）cosA-acosC=0，
∴由正弦定理得，（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，…（2分）
即sinB（2cosA-1）=0．
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=

1

2

．…（3分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．…（4分）
（2）

sinB+sinC=sinB+sin( 2π 3 -B)= 3 sin(B+ π 6 )

∵B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
∴

3

2

＜sinB+sinC≤

3

…（8分）
（3）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

4

，…（9分）   
∴bcsin

π

3

=

3 3

2

，∴bc=3．①…（10分）
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴b²+c²=6．②
由①②得b=c=

3

，…（11分）
∴△ABC为等边三角形．…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角形的面积公式，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．