Question

7．设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，且c=2，已知点A（$1，\frac{1}{2}$）
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．

Answer 1

分析 （1）利用焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，且c=2，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=2，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程为${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入双曲线方程，两式相减，
结合点A（1，$\frac{1}{2}$）为线段MN的中点，可得2（x₁-x₂）-3（y₁-y₂），∴k=$\frac{2}{3}$，
∴直线L方程为y-$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$（x-1），即4x-6y-1=0．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．