Question

（Ⅰ）已知函数f(x)=

3

sin2x-2cos2x-1，x∈R，求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2

3

，C=

π

3

，若2sinA=sinB，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦公式及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-2，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）利用余弦定理与正弦定理可得方程组

a2+b2-ab=12 b=2a

，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1
=

3

sin2x-cos2x-2
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）-2
=2sin（2x-

π

6

）-2，
∴其最小正周期T=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵△ABC中，c=2

3

，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即a²+b²-2abcos

π

3

=12①，
又2sinA=sinB，
∴由正弦定理知，2a=b②，
联立①②得

a2+b2-ab=12 b=2a

，解得

a=2 b=4

．
∴a=2，b=4．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦公式及辅助角公式，考查正弦函数的单调性及正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题．