Question

已知函数f（x）=|log₂（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）．求证：
（1）m+n＞0；
（2）f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）．

Answer 1

（1）证明：由f（m）=f（n），得|log₂（m+1）|=|log₂（n+1）|，即log₂（m+1）=±log₂（n+1），
log₂（m+1）=log₂（n+1），①
或log₂（m+1）=log₂．②
由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去．
由②得m+1=，即（m+1）（n+1）=1．③
∴m+1＜1＜n+1．∴m＜0＜n．∴mn＜0．
由③得mn+m+n=0，m+n=-mn＞0．

（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log₂（x+1）|=log₂（x+1）在（0，+∞）上为增函数．
由（1）知m²-（m+n）=m²+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0．
∴m²-（m+n）＜0，0＜m²＜m+n．
∴f（m²）＜f（m+n）．
同理，（m+n）-n²=-mn-n²=-n（m+n）＜0，
∴0＜m+n＜n²．∴f（m+n）＜f（n²）．
∴f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）．
分析：（1）由f（m）=f（n），得log₂（m+1）=±log₂（n+1），由此入手能够证明出m+n=-mn＞0．
（2）当x＞0时，f（x）=|log₂（x+1）|=log₂（x+1）在（0，+∞）上为增函数．由题设条件能够导出m（m+n）＜0．所以f（m²）＜f（m+n）．同理，（m+n）-n²=-mn-n²=-n（m+n）＜0，由此能够证明f（m²）＜f（m+n）＜f（n²）．
点评：本题考查对数函数的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意积累证明方法，提高解题能力．