Question

设a_n=1+q+q²+…+q^n-1（n∈N^*，q≠±1），A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n．
（1）用q和n表示A_n；
（2）当-3＜q＜1时，求

lim

n→∞

An

2n

．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的前n项和公式求出a_n，利用二项式系数和是2ⁿ及二项式定理的逆用，求出A_n．
（2）先化简

An

2n

，再利用公式

lim

n→∞

qn =0其中0＜|q|＜1求出极限值．

解答：解：（1）因为q≠1，
所以a_n=1+q+q²+…+q^n-1=

1-qn

1-q

．
于是A_n=

1-q

1-q

C_n¹+

1-q2

1-q

C_n²+…+

1-qn

1-q

C_nⁿ
=

1

1-q

[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
=

1

1-q

{（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}
=

1

1-q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
（2）

An

2n

=

1

1-q

[1-（

1+q

2

）ⁿ]．
因为-3＜q＜1，且q≠-1，
所以0＜|

1+q

2

|＜1．
所以

lim

n→∞

An

2n

=

1

1-q

．

点评：本题考查等比数列的前n项和公式；二项式系数的性质；二项式定理的逆用；利用特殊的极限值求函数的极限．