Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上

求椭圆的方程；

已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

先求出的值，即可求出的值，根据离心率求出的值，即可得到椭圆方程

设直线的方程为，设，，，由，根据直线与的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积，再利用二次函数的性质即可求出最小值．

点在抛物线上，

，

解得，

椭圆的右焦点为，

，

椭圆：的离心率为，

，

，

，

椭圆的方程为，

设直线l的方程为，设，，

由，消y可得，

，，

，

，直线AM与BM的斜率乘积为，

，

解得，

直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，

由弦长公式可得，

，

垂直平分线段AB，

当时，设直线ON的方程为，

同理可得，

，

当时，的面积也适合上式，

令，，，

则，

当时，即时，的最小值为．