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已知椭圆E:的一个交点为,而且过点
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.

【答案】分析:(Ⅰ)解法一:根据椭圆E:的一个交点为,过点,可得a2-b2=3,,联立即可求得椭圆E的方程;
解法二:椭圆的两个焦点分别为,利用椭圆的定义,可求椭圆E的方程;
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),求出,同
设圆G的圆心为,利用,即可得到线段OT的长度;
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),求出,可得,由切割线定理可得线段OT的长度.
解答:(Ⅰ)解法一:由题意,∵椭圆E:的一个交点为
∴a2-b2=3,①
∵椭圆过点
,②
①②解得a2=4,b2=1,
所以椭圆E的方程为.…(4分)
解法二:椭圆的两个焦点分别为
由椭圆的定义可得,所以a=2,b2=1,
所以椭圆E的方程为.…(4分)
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),
直线PA1,令y=0,得
直线PA2,令y=0,得; 
设圆G的圆心为
则r2=

,所以,所以
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分)
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),
直线PA1,令y=0,得
直线PA2,令y=0,得
,而,所以
所以,由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查圆与椭圆为综合,考查线段长的求解,认真审题,挖掘隐含是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆E:数学公式的一个交点为数学公式,而且过点数学公式
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
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