Question

设向量

a

=(4cosα， sinα)，

b

=(sinβ， 4cosβ)，

c

=(cosβ， -4sinβ)
（1）求|

b

+

c

|的最大值；
（2）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积运算法则，由

b

和

c

的坐标，表示出

b

+

c

的模，利用完全平方公式展开后，根据同角三角函数间的基本关系，及二倍角的正弦函数公式化简，合并后，由正弦函数的值域即可得所求式子的最大值；
（2）由若

a

与

b

-2

c

垂直，得到两向量数量积为0列出关系式，利用平面向量的数量积计算后，去括号合并，再利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，最后利用同角三角函数间的基本关系弦化切，即可求出tan（α+β）的值．

解答：解：（1）

b

+

c

=(sinβ+cosβ， 4cosβ-4sinβ)
故|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

…（3分）
=

17-15sin2β

≤

17+15

=4

2

（当且仅当sin2β=-1时取“=”），
故|

b

+

c

|的最大值为4

2

；…（6分）
（2）由

a

⊥(

b

-2

c

)知：
（4cosα，sinα）•（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）=0，…（8分）
即 4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化简得 sin（α+β）-2cos（α+β）=0，…（11分）
故tan（α+β）=2．…（12分）

点评：此题考查了平面向量数量积的性质及其运算律，向量的模，正弦函数的值域，二倍角的正弦函数公式以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．