Question

已知双曲线C：x²-y²=1，l：y=kx+1
（1）求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立直线和双曲线方程，分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不等于0时，再由判别式进一步讨论求解；
（2）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确．

解答：解：（1）联立方程组

y=kx+1 x2-y2=1

，
消去y得，（1-k²）x²-2kx-2=0．
当1-k²=0，即k=±1时，x=±1；
当1-k²≠0，k≠±1时，△=（-2k）²+4-2（1-k²）=8-4k²  
由△＞0，即8-4k²＞0，得 -

2

＜k＜

2

由△=0，即8-4k²=0，得k=±

2

由△＜0，即8-4k²＜0，得k＜-

2

或k＞

2

综上知：k∈(-

2，

-1)∪(-1，1)∪(1，

2

)时，直线l与曲线C有两个交点．
k=±

2

时，直线l与曲线C切于一点，k=±1时，直线l与曲线C交于一点．
k＜-

2

或k＞

2

直线l与曲线C没有公共点．
（2）不存在．
假设以Q点为中点的弦存在，
当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意．
当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为k．
联立方程

x12-y12=1 x22-y22=1

两式相减得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
所以过点Q的直线的斜率为k=1，
所以直线的方程为y=x，即为双曲线的渐近线
与双曲线没有公共点．
即所求的直线不存在．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题．