Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，其中为参数， ，再以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中， ，直线与曲线交于两点.

（1）求的值；

（2）已知点，且，求直线的普通方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先根据代入消元法将直线的参数方程化为普通方程，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得的值；（2）由直线参数方程几何意义得，再将直线的参数方程代入抛物线C的普通方程，利用韦达定理得， ， 三个条件联立方程组解得，即得直线的普通方程.

试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，

曲线C的极坐标方程可化为，

设， ，联立与C的方程得： ，

∴，则，

∴.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线C的普通方程，

得，

设交点对应的参数分别为，

则， ，

由得， ，

联立解得，又，所以.

直线的普通方程为.（或）