Question

2．如图在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
（1）证明：BC′⊥平面A′B′CD；
（2）求直线A′B和平面A′B′CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）设BC′∩B′C=O，连接A′O，设正方体的棱长为a，推导出A′B′⊥BC′，BC′⊥B′C，由此能证明BC'⊥平面A'B'CD．
（2）由A′O为斜线A′B在平面A'B'CD内的射影，∠BA'O为A′B与平面A'B'CD所成的角，由此能求出直线A'B和平面A'B'CD所成的角．

解答 证明：（1）设BC′∩B′C=O，连接A′O，设正方体的棱长为a，
∵A′B′⊥B′C′，A′B′⊥B′B，且B′C′∩B′B=B′，
∴A′B′⊥平面BCC′B′，
∵BC′?平面BCC′B′，∴A′B′⊥BC′，（4分）
又∵四边形BCC′B′是正方形，∴BC′⊥B′C，
∵A′B′∩B′C=B′，
∴BC'⊥平面A'B'CD．（6分）
解：（2）由（1）知A′O为斜线A′B在平面A'B'CD内的射影，
∠BA'O为A′B与平面A'B'CD所成的角，（8分）
在△A'BO中，$A'B=\sqrt{2}a$，$BO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$
∴$BO=\frac{1}{2}A'B，∠BA'O={30}$°，（11分）
∴直线A'B和平面A'B'CD所成的角为30°．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．