Question

下列几个命题
①方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0．
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数．
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]．
④设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称．
⑤一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中正确的有

①⑤

．

Answer 1

分析：①由方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，利用根与系数的关系即可判断出；
②要使函数y=

x2-1

+

1-x2

有意义，则

x2-1≥0 1-x2≥0

，解得x即可判断出；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）只是把函数y=f（x）的图象项左平移了一个单位，因此值域没改变；
④举反例：若y=x（x∈R）．则f（x-1）=x-1与f（1-x）=1-x关于y轴不对称；
⑤一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的有公共点，则|3-x²|=a≥0，可得x²-3=±a，即x²=3±a＞0，x=±

3±a

，即可判断出公共点的个数m．

解答：解：①∵方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则

a

1

＜0，即a＜0，因此正确；
②要使函数y=

x2-1

+

1-x2

有意义，则

x2-1≥0 1-x2≥0

，解得x=±1，因此y=0（x=±1），故函数既是偶函数，又是奇函数，故不正确；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域仍然为[-2，2]，故不正确；
④举例：若y=x（x∈R）．则f（x-1）=x-1与f（1-x）=1-x关于y轴不对称，因此不正确；
⑤一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的有公共点，则|3-x²|=a≥0，∴x²-3=±a，即x²=3±a＞0，∴x=±

3±a

，
因此公共点的个数m可以是2，4，故m的值不可能是1．
综上可知：其中正确的有 ①⑤．

点评：熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、函数的图象与性质等是解题的关键．