分析 (1)推导出AD⊥BD,PB⊥AD,从而AD⊥平面PBD,进而AD⊥BF,由此能证明BF⊥平面PAD.
(2)由PB⊥平面ABD,得∠PDB是直线PD与平面ABD所成的角,由PB⊥平面ABD,求出三棱锥E-ABD的高,由此能求出三棱锥E-ABD的体积.
(3)连接EF并延长交AD的延长线于点G,连接BG,则BG为平面BEF与ABD的交线,推导出∠ABE是平面BEF与平面ABD所成锐二面角的平面角,由此能求出平面BEF与平面ABD所成锐二面角的大小.
解答 证明:(1)∵AB为圆O的直径,D为圆周上一点.∴AD⊥BD,(1分)
∵PB⊥平面ABD,∴PB⊥AD,(2分)
又∵BD∩PB=B,∴AD⊥平面PBD,(3分)
∵BF?平面PBD,∴AD⊥BF,
又∵BF⊥PD,AD∩PD=D,∴BF⊥平面PAD.(4分)
解:(2)∵PB⊥平面ABD,∴∠PDB是直线PD与平面ABD所成的角.
∴$tan∠PDB=\sqrt{2}$,(5分)
在Rt△PBD中,$DB=\sqrt{2}$,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=2,$BD=\sqrt{2}$,
∴$AD=\sqrt{2}$,∴${S_{△ADB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$(6分)
∵AB=BP=2,BE⊥PA,∴E是PA的中点.
∵PB⊥平面ABD,∴三棱锥E-ABD的高$h=\frac{1}{2}PB=1$,
∴${V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}h=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$(8分)
(3)连接EF并延长交AD的延长线于点G,连接BG,
则BG为平面BEF与ABD的交线.(9分)
在Rt△PBD中,$BD=\sqrt{2},PB=2,BF=\frac{{2\sqrt{3}}}{3},DF=\frac{{\sqrt{6}}}{3},PF=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
在Rt△PBA中,AB=BP=2,BE⊥PA
∴$BE=\sqrt{2},PE=\sqrt{2}$
∵BF⊥面PAD.∴BF⊥EF
在△EFB中,$EF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.∴EF⊥PE.
又∵PD⊥AD∴FD⊥DG
∴Rt△PEF≌Rt△GDF,∴$DG=PE=AD=BD=\sqrt{2}$(10分)
又∵BD⊥AD,∴$∠ABG=\frac{π}{2}$,
又∵PB⊥面ABD
∴BG⊥PB
∴BG⊥面PAB
∴BG⊥BE
∴∠ABE是平面BEF与平面ABD所成锐二面角的平面角 (11分)
即$∠ABE=\frac{π}{4}$.(12分)
点评 本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查二面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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