Question

9．如图1，AB为圆O的直径，D为圆周上异于A，B的点，PB垂直于圆O所在的平面，BE⊥PA，BF⊥PD，垂足分别为E，F．已知AB=BP=2，直线PD与平面ABD所成角的正切值为$\sqrt{2}$．
（I）求证：BF⊥平面PAD；
（II）求三棱锥E-ABD的体积；
（III）在图2中，作出平面BEF与平面ABD的交线，并求平面BEF与平面ABD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥BD，PB⊥AD，从而AD⊥平面PBD，进而AD⊥BF，由此能证明BF⊥平面PAD．
（2）由PB⊥平面ABD，得∠PDB是直线PD与平面ABD所成的角，由PB⊥平面ABD，求出三棱锥E-ABD的高，由此能求出三棱锥E-ABD的体积．
（3）连接EF并延长交AD的延长线于点G，连接BG，则BG为平面BEF与ABD的交线，推导出∠ABE是平面BEF与平面ABD所成锐二面角的平面角，由此能求出平面BEF与平面ABD所成锐二面角的大小．

解答 证明：（1）∵AB为圆O的直径，D为圆周上一点．∴AD⊥BD，（1分）
∵PB⊥平面ABD，∴PB⊥AD，（2分）
又∵BD∩PB=B，∴AD⊥平面PBD，（3分）
∵BF?平面PBD，∴AD⊥BF，
又∵BF⊥PD，AD∩PD=D，∴BF⊥平面PAD．（4分）
解：（2）∵PB⊥平面ABD，∴∠PDB是直线PD与平面ABD所成的角．
∴$tan∠PDB=\sqrt{2}$，（5分）
在Rt△PBD中，$DB=\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2，$BD=\sqrt{2}$，
∴$AD=\sqrt{2}$，∴${S_{△ADB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$（6分）
∵AB=BP=2，BE⊥PA，∴E是PA的中点．
∵PB⊥平面ABD，∴三棱锥E-ABD的高$h=\frac{1}{2}PB=1$，
∴${V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}h=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$（8分）
（3）连接EF并延长交AD的延长线于点G，连接BG，
则BG为平面BEF与ABD的交线．（9分）
在Rt△PBD中，$BD=\sqrt{2}，PB=2，BF=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，DF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，PF=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
在Rt△PBA中，AB=BP=2，BE⊥PA
∴$BE=\sqrt{2}，PE=\sqrt{2}$
∵BF⊥面PAD．∴BF⊥EF
在△EFB中，$EF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．∴EF⊥PE．
又∵PD⊥AD∴FD⊥DG
∴Rt△PEF≌Rt△GDF，∴$DG=PE=AD=BD=\sqrt{2}$（10分）
又∵BD⊥AD，∴$∠ABG=\frac{π}{2}$，
又∵PB⊥面ABD
∴BG⊥PB
∴BG⊥面PAB
∴BG⊥BE
∴∠ABE是平面BEF与平面ABD所成锐二面角的平面角 （11分）
即$∠ABE=\frac{π}{4}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．