Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，，n∈N^*，p＞0，且p≠1，数列{b_n}满足b_n=2log_pa_n
（1）求a_n，b_n；
（2）若，设数列的前n项和为T_n，求证：0＜T_n≤4．

Answer 1

（1）解：当n=1时，（P-1）a₁=P²-a₁，∴a₁=P
当n≥2时，（P-1）S_n=P²-a_n①，（P-1）S_n-1=P²-a_n-1②
由①-②得：=，
所以数列{a_n}是以a₁=P为首项，公比为的等比数列．
∴a_n=P^2-n；
∴b_n=2log_pa_n=4-2n；
（2）证明：，=
∴T_n=2×+0×+…+
∴T_n=2×+0×+…++
两式相减可得T_n=2×-2×（++…+）-
∴T_n=＞0
∵当n＞2时，T_n-T_n-1=＜0，∴T_n≤T₃=3
∵T₁=T₂=4，
∴0＜T_n≤4．
分析：（1）由于正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），利用已知数列的前n项和求其通项的公式及等比数列的定义即可求得a_n，利用b_n=2log_pa_n，可求b_n；
（2）利用错位相减法求得数列的和，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确运用错位相减法是解题的关键．