Question

13．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为（-2，2），半径为2，可得所求的圆的方程．
（Ⅱ）先求出圆x²+y²-2y=0的圆心和半径；再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为（-2，2），半径为2，
∴圆的方程为（x+2）²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）设（-2，2）关于直线x-y+2=0对称点为：（a，b）
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}-\frac{b+2}{2}+2=0}\\{\frac{b-2}{a+2}=-1}\end{array}\right.$⇒a=b=0．
故所求圆的圆心为：（0，0）．半径为2．
所以所求圆的方程为x²+y²=4．

点评 本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．解决问题的关键在于会求点关于直线的对称点的坐标，主要利用两个结论：①两点的连线和已知直线垂直；②两点的中点在已知直线上