Question

20．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有下列命题：①（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）²=3$\overrightarrow{AB}$²；②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=0；③$\overrightarrow{A{D}_{1}}$与$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的夹角为60°，其中正确命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据空间向量的垂直和异面直线的所成的角即可求出．

解答 解：对于①（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）²=（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$）²+（$\overrightarrow{AD}$）²+（$\overrightarrow{AB}$）²+2$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AB}$²，故正确，
对于②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overline{A{B}_{1}}$≠0，故错误，
对于③∵$\overline{{A}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{D}_{1}C}$，AD₁，AC，D₁C，分别为面的对角线，∴∠AD₁C=60°，∴；③$\overrightarrow{A{D}_{1}}$与$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的夹角为60°，故正确，
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的垂直和异面直线的所成的角，属于基础题．