Question

【题目】已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f（x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+ ，

①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，

所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；

②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），

F′（x）=2e2x+ ﹣2（x+1）﹣1

F″（x）=4e2x﹣ ﹣2=[e2x﹣﹣ ]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），

所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，

所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，

即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；

（2）解：存在x0∈[0，+∞），使得 成立

存在x0∈[0，+∞），使得e ﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，

设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，

u′（x）=2e2x﹣ ﹣2x，u″（x）=4e2x+ ﹣2＞0，

可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣

①当a≥ 时，u′（0）=2﹣ ≥0，

可得u（x）在[0，+∞）单调增，

则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，

解得a＞e；

②当a＜ 时，ln（x+a）＜ln（x+ ），

设h（x）=x﹣ ﹣ln（x+ ），（x＞0），

h′（x）=1﹣ = ，

另h′（x）＞0可得x＞ ，h′（x）＜0可得0＜x＜ ，

则h（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增．

则h（x）≥h（

设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣ ），（x＞0），

g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，

g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，

可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，

即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，

则g（x）在（0，+∞）单调递增，

则g（x）＞g（0）＞0，

则e2x﹣x2＞x﹣ ＞ln（x+ ）＞ln（x+a），

则当a＜ 时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．

综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．

【解析】（1）①求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；②设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；（2）由题意可得存在x0∈[0，+∞），使得e ﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，两次求导，判断单调性，对a讨论，分①当a≥ 时，②当a＜ 时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．