Question

已知数列{a_n}满足：，，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），数列{b_n}满足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=4时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．
∴数列{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）证明：∵{a_n}为等差数列，
∴公差，
∴．
∵3b_n-b_n-1=n（n≥2）．
∴，
∴
又b₁-a₁≠0，
∴对．
数列{b_n-a_n}是公比为的等比数列．
（Ⅲ）由（II）得b_n-a_n=（b₁-a₁）（ ）^n-1，
∴b_n=，
∵b₁＜0，可知数列{b_n}为递增数列…10分
由当且仅当n=4时，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，
∴b₄＜0，b₅＞0，
又当b₄＜0，b₅＞0时，
∵数列{b_n}为递增数列，
∴S_n取得最小值时，n=4，
即当且仅当n=4时，S_n取得最小值的充要条件是b₄＜0，b₅＞0…12分
由b₄＜0得，•（）³＜0，解得b₁＜-47，
由b₅＞0得，•（）⁴＞0，解得b₁＞-182，
∴b₁的取值范围为（-182，-47）．…14分
分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．所以数列{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）由{a_n}为等差数列，公差，知．由3b_n-b_n-1=n（n≥2）．知，由此能够证明数列{b_n-a_n}是等比数列．
（Ⅲ）由b_n-a_n=（b₁-a₁）（ ）^n-1，知b_n=，由b₁＜0，可知数列{b_n}为递增数列．由当且仅当n=4时，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，所以b₄＜0，b₅＞0．由此能求出b₁的取值范围．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．