Question

14．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，且b₃S₃=36，b₂S₂=8（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．根据公式b_n=b₁•q^n-1，S_n=${na}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}×d$，可得d，q的方程，求出d和q，继而写出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）根据（1）中求得的结果分别求出数列{a_n}的前n项和以及数列{b_n}的前n项和，两者相加即可得数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．
由题意$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}（3+3d）=36}\\{q（2+d）=8}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{2}{3}}\\{q=6}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1或${a}_{n}=\frac{1}{3}（5-2n）$，b_n=6^n-1；
（2）①若${a_n}=2n-1，{b_n}={2^{n-1}}$，
则为S_n=$n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=n+n（n-1）={n^2}$，
数列{b_n}的前n项和为$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$，
所以数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=n²+2ⁿ-1；
②若${a_n}=\frac{1}{3}（{5-2n}），{b_n}={6^{n-1}}$
则数列{a_n}的前n项和为S_n=$n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=n+\frac{n（n-1）}{2}（-\frac{2}{3}）=\frac{{4n-{n^2}}}{3}$，
数列{b_n}的前n项和为$\frac{{1-{6^n}}}{1-6}=\frac{{{6^n}-1}}{5}$，
所以数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=$\frac{{4n-{n^2}}}{3}$$+\frac{6^n}{5}-\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查了运算能力，属于中档题．