Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，．
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求直线PA与平面 BEP所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．
∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD，又AB∥CD，
∴BE⊥AB，
又∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE，而PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
（2）过A点作AF垂直PB，垂足为F，
∵平面PBE⊥平面PAB
∴AF⊥平面PBE
∴∠APB即为直线PA与平面 BEP所成的角
在Rt△APB中，∵AB=1，．
∴∠APB=30°
∴直线PA与平面 BEP所成的角为30°
分析：（1）连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，易得BE⊥CD，即BE⊥AB，再由线面垂直的性质结合PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BE，由线面垂直的判定定理，可得BE⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理得到平面PBE⊥平面PAB；
（2）过A点作AF垂直PB，垂足为F，由（1）的结论，易得F为A点在平面PBE上的正投影，则∠APB即为直线PA与平面 BEP所成的角．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中熟练掌握空间线、面垂直及平行的判定、性质、定义，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．