Question

已知函数f（x）=blnx+x²，其中b为实常数．
（Ⅰ）当b=-1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若任意x∈[1，e]，f（x）-（b+2）x≥0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当b=-1时，求函数的导数利用导数的几何意义即可求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）利用参数分离法将不等式转化b≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即只需求出

x2-2x

x-lnx

的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当b=-1时，f（x）=-lnx+x²，
则f′（x）=2x-

1

x

，得f′（1）=1．
当x=1时，f（1）=1，于是曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．…（6分）
（Ⅱ）依题意，f（x）-（b+2）x≥0即为（x-lnx）b≤（x²-2x），
因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
所以b≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即只需求出

x2-2x

x-lnx

的最小值即可．…（9分）
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，
则g′（x）=

(2x-2)(x-lnx)-(x2-2x)(1- 1 x )

(x-lnx)2

=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

   …（11分）
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，
所以x+2-2lnx＞0，故g′（x）≥0，
所以函数g（x）=

x2-2x

x-lnx

，在区间[1，e]上为增函数．
故函数g（x）的最小值为g（1）=-1，
从而b≤-1．…（13分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义以及函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键．