Question

【题目】已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.

（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；

（2）证明：以为直径的圆恒过点M.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）设出过点的切线方程，与抛物线方程联立，得到一个元二次方程，它的判别式为零，可以求出切线方程的斜率，这样可以求出A,B两点的坐标，设出圆心的坐标为，由，可以求出，最后求出圆的方程；

（2）设，设切点分别为，，把抛物线方程化，求导，这样可以求出切线的斜率，求出切线 的方程，切线的方程，又因为切线过点，切线也过点，这样可以发现，是一个关于的一元二次方程的两个根，计算出，，计算，根据根与系数关系，化简，最后计算出=0，这样就证明出以为直径的圆恒过点M.

解：（1）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，

由消得. (1)

令，解得.

代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).

设圆心的坐标为，由，得，解得.

故过三点的圆的方程为．

（2）证明：设，由已知得，，设切点分别为，，所以，，

切线 的方程为即，

切线的方程为即．

又因为切线过点，所以得. ①

又因为切线也过点，所以得. ②

所以，是方程的两实根，

由韦达定理得．

因为，，

所以

．

将代入，得.

所以以为直径的圆恒过点．