Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，AD=AB=1．
（1）若点G为线段BC的中点，证明：平面EFG∥平面PAB；
（2）在（1）的条件下，求以△EFG为底面的三棱锥C-EFG的高．

Answer 1

分析 （1）由E、F分别是PC、PD的中点，可由三角形中位线定理得到EF∥CD，进而根据底面是矩形，对边平行得到EF∥AB，结合线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；同理EG∥平面PAB，即可证明：平面EFG∥平面PAB；
（2）证明BC⊥平面PAB，C到平面PAB的距离为BC，即可求以△EFG为底面的三棱锥C-EFG的高．

解答 （1）证明：∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF∥CD．                    
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB．                  
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理EG∥平面PAB．
∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB；
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∴C到平面PAB的距离为BC=1
∴以△EFG为底面的三棱锥C-EFG的高为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．