Question

已知四棱锥p-ABCD中，面PAB⊥面ABCD，且BC∥AD，BC⊥AB，且PA=PB=4，AB=2，BC=1，AD=3，O为AB的中点．
（1）证明：面PCD⊥面POC；
（2）在PD上确定一点E使OE∥面PBC，求点E的位置；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据面面垂直转化成线面垂直，进一步利用题中相关的线段长求出：△OCD是直角三角形，最后利用线面垂直的判定定理，转化成面面垂直从而确定结果．
（2）利用面面平行转化成线面平行，利用相关的中位线定理．
（3）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量，进一步利用向量的夹角求出二面角的余弦值．

解答： （1）证明：四棱锥p-ABCD中，PA=PB=4，O为AB的中点．
所以：PO⊥AB
又面PAB⊥面ABCD，
所以：PO⊥面ABCD，
PO⊥CD
且BC∥AD，BC⊥AB，且，AB=2，BC=1，AD=3，
利用勾股定理：OD²=OA²+AD²
解得：OD=

10

同理：OC²=OB²+BC²
解得：OC=

2

进一步解得：CD=2

2

由于：OD²=OC²+CD²
所以：△OCD是直角三角形．
OC⊥CD
所以：CD⊥平面POC
所以：平面PCD⊥平面POC．
（2）当E为PD的中点时，使OE∥面PBC
取CD的中点，PD的中点，连接OG，EG，
所以：OG∥BC，EG∥PC
所以：平面OGE∥平面PBC
OE?平面OGE
所以：OE∥平面PBC
（3）建立空间直角坐标系O-xyz
则：B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，

15

），D（-1，4，0）

BC

=(0，1，0)，

BP

=(-1，0，

15

)，

PC

=(1，1，-

15

)，

CD

=(-2，3，0)
设平面PBC的法向量为：

n

=(x，y，x)
则：

n • BC =0 n • BP =0

解得：

n

=(

15

，0，1)
同理设平面PCD的法向量为：

m

=(x，y，z)
则：

m • CD =0 m • PC =0

解得：

m

=(3，2，

15

3

)
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
则：cosθ=

m • n

| m || n |

=

5 215

86

二面角的平面角的余弦值为：

5 215

86

点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理的应用，空间直角坐标系，法向量的应用，二面角的应用．属于中等题型．