Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的半焦距为c，依题意 ∴b=1，∴所求椭圆方程为 ．
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．

①当AB⊥x轴时， ．

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．

由已知 ，得 ．

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

∴ ， ．

∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

=

=

= ．

当且仅当 ，即 时等号成立．当k=0时， ，

综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 ．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（1）当AB⊥x轴时， ．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知 ，得 ．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．