Question

8．已知△AB的三个顶点在抛物线Γ：x²=y上运动，
（1）求Γ的准线方程；
（2）若点A在坐标原点，B，C是抛物线上的动点，且满足$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，点M是线段BC的中点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）抛物线Γ：x²=y得2p=1，即可求Γ的准线方程；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，得x₁x₂+x₁²x₂²=0，结合中点坐标公式，求点M的轨迹方程．

解答 解：（1）抛物线Γ：x²=y得2p=1，∴Γ的准线方程为y=-$\frac{1}{4}$；
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），M（x，y），则
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，得x₁x₂+x₁²x₂²=0，
∵x₁x₂≠0，∴x₁x₂=-1，
∵2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂=x₁²+x₂²，
∴（2x）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂=2y-2，即点M的轨迹方程是x²=$\frac{1}{2}$（y-1）．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查向量知识的运用，属于中档题．