定义在[a.b]上的函数f(x).若存在x0∈在[a.x0]上单调递增.在[x0.b]上单调递减.则称f(x)为[a.b]上的单峰函数.x0为峰点．=-x3+3x.则f(x)是否为[0.2]上的单峰函数.若是.求出峰点,若不是.说明理由,=m•4x+2x在[-1.1]上不是单峰函数.求实数m的取值范围,=|x2-1|+n|x-1|在[-2.2]上为单� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

4．定义在[a，b]上的函数f（x），若存在x₀∈（a，b）使得f（x）在[a，x₀]上单调递增，在[x₀，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，x₀为峰点．
（1）若f（x）=-x³+3x，则f（x）是否为[0，2]上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；
（2）若g（x）=m•4^x+2^x在[-1，1]上不是单峰函数，求实数m的取值范围；
（3）若h（x）=|x²-1|+n|x-1|在[-2，2]上为单峰函数，求负数n的取值范围．

分析（1）若f（x）=-x³+3x，利用导数法分析f（x）在区间[0，2]上的单调性，根据单峰函数的定义，可得答案；
（2）先求出g（x）=m•4^x+2^x在[-1，1]上是单峰函数的实数m的取值范围，进而可得答案；
（3）根据单峰函数的定义，对负数n的取值进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答解：（1）若f（x）=-x³+3x，则f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）=0，解得x=±1，
当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，2]时，f′（x）＜0，
故f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，…（3分）
所以f（x）是为[0，2]上单峰函数，峰点为1．…（4分）
（2）先考虑g（x）=m•4^x+2^x在[-1，1]上是单峰函数，…（5分）
令t=2^x（x∈[-1，1]），则t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
问题转化为p（t）=mt²+t在[$\frac{1}{2}$，2]是单峰函数，
所以$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ \frac{1}{2}＜-\frac{1}{2m}＜2\end{array}\right.$，
解得m∈（-1，-$\frac{1}{4}$）．…（8分）
所以实数m的范围是（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{4}$，+∞）．…（9分）
（注本题如正面分类讨论也可，酌情给分）

（3）h（x）=|x²-1|+n|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-nx+n-1，x∈[-2，-1]\\{-x}^{2}-nx+n+1，x∈（-1，1）\\{x}^{2}+nx-n-1，x∈[1，2]\end{array}\right.$
①若$\frac{n}{2}$≤-2，即n≤-4，则-$\frac{n}{2}$≥2，
所以，h（x）在[-2，-1]上递增，在（-1，1）上递增，在[1，2]上递减，
即h（x）在[-2，1]上递增，在[1，2]上递减，
所以h（x）是单峰函数，峰点为1；                                                  …（11分）
②若-2＜$\frac{n}{2}$＜-1，即-4＜n＜-2，则1＜-$\frac{n}{2}$＜2，
所以，h（x）在[-2，$\frac{n}{2}$]递减，在（$\frac{n}{2}$，-1）上递增，
在（-1，1）上递增，（1，-$\frac{n}{2}$）上递减，在[-$\frac{n}{2}$，2]上递增，
所以h（x）不为单峰函数．      …（13分）
③若-1≤$\frac{n}{2}$＜0，即-2≤n＜0，则0＜-$\frac{n}{2}$≤1，
所以，h（x）在[-2，-1]上递减，在（-1，-$\frac{n}{2}$）上递增，
在（-$\frac{n}{2}$，1）上递减，在[1，2]上递增，
所以h（x）不为单峰函数．   …（15分）
综上，n≤-4．                                       …（16分）

点评本题考查的知识点是利用导数法研究函数的单调性，正确理解单峰函数的定义，是解答的关键．

练习册系列答案

金榜一号同步单元全程达标测试AB卷系列答案

亮点激活3加1大试卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>