Question

5．设函数f（x）=x²-ax+b，a，b∈R．
（1）已知f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，求a的取值范围；
（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴和单调区间的关系，即可求a的取值范围；
（2）根据不等式恒成立，转化为求相应的最值即可

解答 解：（1）∵函数的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
∴要使f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，则满足对称轴x=$\frac{a}{2}$≤1，即a≤2．
（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，
∴b＞0，
①若a≤0，则$\frac{a}{2}$≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（0）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（b）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{{b}^{2}-ab+b≤6}\end{array}\right.$，
由b²-ab+b≤6得a≥b-$\frac{6}{b}$，
∴a=0，此时$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{{b}^{2}+b≤6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=2}\end{array}\right.$．
②若0＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{b}{2}$，即0＜a＜b，此时：$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（\frac{a}{2}）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（b）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥≥2}\\{{b}^{2}-ab+b≤6}\end{array}\right.$，∴即$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{b-\frac{6}{b}+1＜b}\end{array}\right.$，
∴2＜b＜6，
又b-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥2，则a≤2$\sqrt{b-2}$，
∴b-$\frac{6}{b}$+1≤2$\sqrt{b-2}$，
令h（x）=x-$\frac{6}{x}$+1，g（x）=2$\sqrt{x-2}$，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，
当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），
∴不等式b-$\frac{6}{b}$+1≤2$\sqrt{b-2}$的解为2＜b≤3，
当b=3时，$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{9-3a+3≤6}\\{0＜a＜3}\end{array}\right.$，解得a=2
③若0＜$\frac{a}{2}$=$\frac{b}{2}$，即0＜a=b，此时$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（\frac{a}{2}）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（0）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{b≤6}\\{0＜a＜3}\end{array}\right.$，此时不等式无解．
④若0＜$\frac{b}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜b，即0＜b＜a＜2b，
此时$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（\frac{a}{2}）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{b≤6}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$+2＜a，a²-4a+8＜0此时不等式无解．
⑤若$\frac{a}{2}$≥b，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（b）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-ab+b≥2}\\{b≤6}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，
∴2b≤b-$\frac{2}{b}$+1，
即b+$\frac{2}{b}$≤1，而当b＞0时，b+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{2}$＞1，
∴此时不等式无解．
综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大，难度不小．