Question

已知函数f（x）=sinωx•sin（

π

2

-φ）-sin（

π

2

+ωx）sin（π+φ）是R上的偶函数，其中ω＞0，0≤φ≤π，其图象关于点M（

3π

4

，0）对称，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式可得f（x）=sin（ωx+φ），根据它是偶函数，结合φ的范围，可得φ=

π

2

，f（x）=cosωx．再根据cos（ω•

3π

4

）=0，求得ω 的范围，再由f（x）=cosωx 在区间[0，

π

2

]上是单调函数，可得ω•

π

2

≤π，从而求得ω的值．

解答： 解：∵函数f（x）=sinωx•sin（

π

2

-φ）-sin（

π

2

+ωx）sin（π+φ）
=sinωx•cosφ+cosωx•sinφ=sin（ωx+φ）是偶函数，
∴φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
再结合0≤φ≤π，可得φ=

π

2

，故f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx．
再根据函数f（x）的图象关于点M（

3π

4

，0）对称，可得cos（ω•

3π

4

）=0，
∴ω•

3π

4

=nπ+

π

2

，n∈z，即ω=

4n+2

3

，∴ω=2，5，8，…
再由f（x）=cosωx 在区间[0，

π

2

]上是单调函数，可得ω•

π

2

≤π，∴ω≤2，∴ω=2．
综上可得，ω=2，φ=

π

2

．

点评：本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式、余弦函数的图象的对称性、余弦函数的单调性，属于基础题．