Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：．|f（x₁）-f（x₂）≤|．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）．
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax³+cx．∴f′（x）=3ax²+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-．∴f′（1）=0且f（1）=-，
即3a+c=0且a+c=-．解得a=，c=-1．
（2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直
证明：假设存在x₁，x₂，则f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
因为x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-1
所以不存在．
（3）证明：∵f′（x）=x²-1，由f′（x）=0，得x=±1．
当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f_max（x）=f（-1）=，f_min（x）=f（1）=-．
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤．
于是x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=+=．
故x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤．
分析：（1）根据奇偶性判断b、d的值，再有在1处的极值求出a、c．
（2）用假设法证明．对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在x₁，x₂，则f'（x₁）•f'（x₂）=-1，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（3）函数在1和-1处取代极值，判断其为最值，根据两最值之差最大，证明问题．
点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分析问题的能力和转化的数学思想，属于中档题．