Question

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，

f(x)

g(x)

=

a

x

，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），（a＞0，且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．若数列{

f(n)

g(n)

}的前n项和大于62，则n的最小值为（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

Answer 1

分析：根据导数不等式可知函数

f(x)

g(x)

的单调性，从而确定a的取值范围，然后根据条件求出a的值，从而可判定数列{

f(n)

g(n)

}是等比数列，可求出其前n项和，然后求出满足条件的n，由此可得答案．

解答：解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，即

f(x)

g(x)

单调递增，
又

f(x)

g(x)

=a^x，故a＞1．
所以由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即a+a^-1=

5

2

，解得a=2．
所以数列{

f(n)

g(n)

}是以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），
由Sn＞62即2（2ⁿ-1）＞62，解得n≥6，
所以n的最小值为6．
故选A．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及等比数列的前n项和，同时考查了运算求解能力，考查计算能力和转化得思想，属于基础题．