Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ． 若对n∈N* ， 总k∈N* ， 使得Sn=ak ， 则称数列{an}是“G数列”． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d=﹣1．证明：数列{an}是“G数列”；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和Sn=3n（n∈N*），判断数列{an}是否为“G数列”，并说明理由；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“G数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：由题意an=1+（n﹣1）（﹣1）=2﹣n， ，
若 ，
则 ．
所以，存在k∈N* ， 使得Sn=ak ．
所以，数列{an}是“G数列．
（Ⅱ）首先a1=S1=3，
当n≥2时， ，
所以
当n=2时，9=2×3k﹣1 ， 得kN*因此数列{an}不是“G数列”．
（Ⅲ）若dn=bn，（b为常数），
则数列{dn}的前n项和 是数列{dn}中的第 项，因此数列{dn}是“G数列”．
对任意的等差数列{an}，an=a1+（n﹣1）d，（d为公差），
设bn=na1 ， cn=（d﹣a1）（n﹣1），
则an=bn+cn ， 而数列{bn}和{cn}都是“G数列”．
【解析】（Ⅰ）根据G数列的定义证明即可，（Ⅱ）由 ，可以判断数列{an}不是“G数列”，（Ⅲ）若dn=bn，（b为常数），可与判断数列{dn}是“G数列”，继而可以证明an=bn+cn（n∈N*）成立．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．