Question

12．已知tanα=-$\frac{1}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．若β∈（$\frac{π}{2}$，π），且cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，求sin（α+β）及cosβ的值．

Answer 1

分析 由条件和同角三角函数的基本关系依次求出sin（α+β）、sinα、cosα，由两角差的余弦公式求出cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：由题意得，α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（$\frac{π}{2}$，π），
则α+β∈（π，2π），
∵cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，∴sin（α+β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=-$\frac{5}{13}$，
∵tanα=-$\frac{1}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}\\{\frac{sinα}{cosα}=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{12}{13}$×（$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$）+（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{\sqrt{10}}{10}$
=$\frac{31\sqrt{10}}{130}$

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，注意角的范围和角之间的关系，属于中档题．