Question

以下四个命题中正确的是（　　）

• A．若

  OP

  =

  1

  2

  OA

  +

  1

  3

  OB

  ，则P，A，B三点共线
• B．若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }为空间的一个基底，则{

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }构成空间的另一个基底
• C．|(

  a

  ?

  b

  )

  c

  |=|

  a

  ||

  b

  ||

  c

  |
• D．△ABC为直角三角形的充要条件是

  AB

  ?

  AC

  =0

Answer 1

分析：对于A，P，A，B三点共线时，

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ+μ=1）；对于B，若{

a

，

b

，

c

}为空间的一个基底，则

a

，

b

，

c

不共线，故

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

不共线；对于C，设＜

a

，

b

＞=θ，则|(

a

•

b

)

c

|=|

a

||

b

||

c

||cosθ|；
对于D，

AB

•

AC

=0时，∠A为直角，故△ABC为直角三角形，反之也可以是∠B，∠C为直角．

解答：解：对于A，P，A，B三点共线时，

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ+μ=1），∵

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，∴P，A，B三点共线不成立，故不正确；
对于B，若{

a

，

b

，

c

}为空间的一个基底，则

a

，

b

，

c

不共线，∴

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

不共线，∴{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}构成空间的另一个基底，故正确；
对于C，设＜

a

，

b

＞=θ，则|(

a

•

b

)

c

|=|

a

||

b

||

c

||cosθ|，故不正确；
对于D，

AB

•

AC

=0时，∠A为直角，故△ABC为直角三角形，反之也可以是∠B，∠C为直角，故不正确
故选B．

点评：本题考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积，属于中档题．