[题目]在四棱锥中.平面..点是矩形内的动点.且..直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为.则 ,当三棱锥的体积最小时.三棱锥的外接球的表面积为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为，则______；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】

先根据已知条件判断出点的轨迹为圆弧，再求此时的，即可求出；判断三棱锥的体积最小时即点位于时，此时三棱锥的外接球球心为的中点，所以半径为的一半，从而可得外接球的表面积.

如图，因为平面，垂足为，

则为直线与平面所成的角，

所以.因为，所以，

所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，

记点的轨迹为圆弧.连接，则.

因为，，所以，

则弧的长度，所以.

当点位于时，三棱锥的体积最小，

又，

∴三棱锥的外接球球心为的中点.

因为，

所以三棱锥的外接球的表面积.

故答案为：；

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