Question

11．已知函数f（x）=e${\;}^{-\frac{1}{|x|}}$-ax²（其中e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（$\frac{1}{x}$）＜n!x^-n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定义判断，先判断定义域关于原点对称，再判断f（-x）=f（x）；
（Ⅱ）不等式可整理为a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用构造函数令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$，求出导函数g'（x）=-$\frac{1}{{x}^{4}}$${e}^{\frac{1}{x}}$（2x+1），得出函数的单调性，求出最大值；
（Ⅲ）若a=0，f（x）=${e}^{-\frac{1}{x}}$，得出xⁿ＜n!e^x，利用数学归纳法证明不等式对一切n∈N^*都成立即可．

解答 解：（Ⅰ）函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
∵f（-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）由偶函数性质可知，只需求当x∈（-∞，0）时，
f（x）=${e}^{\frac{1}{x}}$-ax²≤0恒成立，
∴a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$${e}^{\frac{1}{x}}$，g'（x）=-$\frac{1}{{x}^{4}}$${e}^{\frac{1}{x}}$（2x+1），
当x∈（-∞，$-\frac{1}{2}$）时，g'（x）＞0，g（x）递增，当x∈（$-\frac{1}{2}$，0）时，g'（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）的最大值为g（-$\frac{1}{2}$）=4e^-2，
∴a≥4e^-2，
（Ⅲ）若a=0，f（x）=e${\;}^{-\frac{1}{|x|}}$，
当x＞0时，f（x）=${e}^{-\frac{1}{x}}$，f（$\frac{1}{x}$）=e^-x＜n!x^-n．
∴xⁿ＜n!e^x，
（i）当n=1时，设g（x）=e^x-x，（x＞0），
∵x＞0时，g'（x）=e^x-1＞0，
∴g（x）是增函数，
故g（x）＞g（0）=1＞0，
即e^x＞x，（x＞0）
所以，当n=1时，不等式成立      
（ii）假设n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即x^k＜k!•e^x
当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）
有h'（x）=（k+1）!•e^x-（k+1）x^k=（k+1）（k!•e^x-x^k）＞0
故h（x）=（k+1）!•e^x-x^k+1，（x＞0）为增函数，
所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x^k+1＜（k+1）!•e^x，
这说明当n=k+1时不等式也成立，
根据（i）（ii）可知不等式对一切n∈N^*都成立，
故原不等式对一切n∈N^*都成立．

点评 考查了偶函数的判定，恒成立问题的转换和数学归纳法的应用．