Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{-lo{g}_{3}x，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=|x-k|+|x-1|，若对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-$∞，\frac{3}{4}$）∪（$\frac{5}{4}，+∞$）
• B． （-$∞，\frac{3}{4}$]∪[$\frac{5}{4}，+∞$）
• C． [$\frac{3}{4}，\frac{5}{4}$]
• D． （$\frac{3}{4}，\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 求出函数的最值，不等式有f（x₁）≤g（x₂）等价为有f（x）_max≤g（x）_min即可．

解答 解：当x≤1时，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
当x＞1时，f（x）=-log₃x＜0，
则函数f（x）_max=$\frac{1}{4}$，
g（x）=|x-k|+|x-1|≥|k-x+x-1|=|k-1|，
若对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
则|k-1|≥$\frac{1}{4}$，
即k-1≥$\frac{1}{4}$或k-1≤-$\frac{1}{4}$，
即k≥$\frac{5}{4}$或k≤$\frac{3}{4}$，
故选：B

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．