Question

已知函数y=f（x）的图象过点（-2，-3），且满足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），设g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）-4f（x）
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）是否存在正实数p，使F（x）在（-∞，f（2））上是增函数，在（f（2），0）上是减函数？若存在，求出p；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）令x-2=t，则x=2+t∴f（t）=a（2+t）²-（a-3）（2+t）+（a-2）∵f（-2）=-3∴a-2=-3，∴a=-1
∴f（t）=-（2+t）²+4（2+t）-3=-t²+1，即f（x）=-x²+1
（II）g（x）=f[f（x）]=f（-x²+1）=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）-4f（x）=p（-x⁴+2x²）-4（-x²+1）=-px⁴+（2p+4）x²-4Fn（x）=-4px³+4（p+2）x=-4x（px²-p-2）
∵f（2）=-3，假设存在正实数p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数∴Fn（-3）=0，解得
当时，Fn（x）=-x³+9x=x（3-x）（3+x）
当x＜-3时，Fn（x）＞0∴F（x）在（-∞，-3）上是增函数
当-3＜x＜0时，Fn（x）＜0∴F（x）在（-3，0）上是减函数
∴存在正实数，使得F（x）在（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数
分析：（I）欲求f（x）的表达式，只要先求出a值即可，利用函数y=f（x）的图象过点（-2，-3），可求出a值，从而问题获解；
（II）对于存在性问题，先假设存在，正实数p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数．再结合题目中条件求出p值，最后看对于求出的p值，函数F（x）是否符合要求，若符合，则存在，若不符合，则不存在．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．