Question

15．设函数f（x）=e^x-ax²+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞0时，求证：f（x）≥（e-2）x+2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）令ϕ（x）=f（x）-（e-2）x-2=e^x-x²-（e-2）x-1，则ϕ′（x）=e^x-2x-（e-2），令t（x）=ϕ′（x），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a+1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：
y-e+a-1=（e-2a）x-e+2a，
即：y=（e-2a）x+a+1，
由题意：e-2a=b，a+1=2，
∴a=1，b=e-2…（6分）
（2）证明：令ϕ（x）=f（x）-（e-2）x-2=e^x-x²-（e-2）x-1，
则ϕ′（x）=e^x-2x-（e-2），令t（x）=ϕ′（x），
则t′（x）=e^x-2，
令t′（x）＜0得：0＜x＜ln2   令t′（x）＞0得：x＞ln2，
∴t（x）=ϕ′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增
∵t（0）=ϕ′（0）=3-e＞0，t（1）=ϕ′（1）=0，0＜ln2＜1，
∴t（ln2）=ϕ′（ln2）＜0，
∴存在x₀∈（0，1）使t（x₀）=ϕ′（x₀）=0，
且当x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）时，t（x）=ϕ′（x）＞0，
当x∈（x₀，1）时，t（x）=ϕ′（x）＜0，
∴ϕ（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减，在上递增（1，+∞），
又ϕ（0）=ϕ（1）=0，所以有：ϕ（x）≥0，
即f（x）-（e-2）x-2≥0，
∴f（x）≥（e-2）x+2…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．