Question

设函数f（x）=x³﹣mx²+（m²﹣4）x，x∈R．
（1）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）已知关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β（α＜β），求实数 m 的取值范围；
（3）在（2）条件下，若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=．
∴f'（x）=x²﹣2mx+m²﹣4
当m=3时，f '（2）=﹣3，f（2）=
所以所求的直线方程为9x+3y﹣20=0．
（2）∵函数f（x）==x[]
若关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β
则△=m²﹣＞0，
解得：﹣4＜0＜4
故满足条件的实数m的取值范围为（﹣4，4）
（3）∵f'（x）=x²﹣2mx+m²﹣4=[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+2）]，
f（x）在（﹣∞，m﹣2）上递增，在（m﹣2，m+2）递减，在（m+2，+∞）递增，
f（x）极大值=f（m﹣2）=（m﹣2）³﹣m（m﹣2）²+（m²﹣4）（m﹣2）＞0，
f（x）极小值=f（m+2）=（m+2）³﹣m（m+2）²+（m²﹣4）（m+2）＜0，
得﹣4＜m＜4且m²﹣4≠0，得﹣4＜m＜4，m≠±2．
若m+2＜0，即m∈（﹣4，﹣2），
当x∈[α，β]时，f（x）_min=0，
∴当m∈（﹣4，﹣2）时，f（x）≥﹣恒成立．
若m﹣2＜0＜m+2，即m∈（﹣2，2）
要使当x∈[α，β]时，f（x）≥﹣恒成立，即f（x）_min=f（m+2）≥﹣．
f（m+2）=（m+2）³﹣m（m+2）²+（m²﹣4）（m+2）≥﹣，得m（m²﹣12）≥0
∵m∈（﹣2，2）
∴m²﹣12＜0，
∴m≤0，
∴当﹣2＜m≤0时，f（x）≥﹣恒成立．
若0＜m﹣2，即m∈（2，4），要使当x∈[α，β]时，f（x）≥﹣恒成立，
即f（x）_min=f（m+2）≥﹣，
f（m+2）=（m+2）³﹣m（m+2）²+（m²﹣4）（m+2）≥﹣
得m（m²﹣12）≥0
∵m∈（2，4）
∴2≤m＜4
综上得：m的取值范围是（﹣4，﹣2）．