Question

（12分）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，

（1）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG;
（2）求证：平面AA₁C⊥面EFG.
（3）求异面直线AC与A₁B所成的角

Answer 1

（1）先证平面平面,再证平面平面,从而可证结论；
（2）先证EF⊥AC，, 从而证明EF⊥平面,进而可证结论；
（3）

试题分析：（1）∵分别是的中点，
∴,
∴平面平面,
又∵,
∴平面平面,
∴平面∥平面.                                                             ……4分
（2）∵EF∥BD ，ABCD为正方形
∴BD⊥AC, 即EF⊥AC，
又∵正方体中面ABCD,EF面ABCD, ∴,
∵，AC面,∴EF⊥平面,
又∵EF属于面EFG, ∴平面⊥平面EFG.                                                 ……8分（3）在正方体中显然有,
所以即为异面直线AC与A₁B所成的角；
显然为正三角形，
所以，即异面直线AC与A₁B所成的角为                                      ……12分
点评：立体几何问题，主要考查学生的空间想象能力和推理论证能力，要紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件要一一列举出来，缺一不可.求角时，要先证后求，并注意角的取值范围.