Question

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴，
∴，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（）==，①
，②
…
③
将上式①②…③n个式子累加有

=
=f（n+2）-f（2）=，
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴，
∴
分析：（1）令x=y=0，代入条件关系即可；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，然后构造f（x₁）-f（x₂），进而根据函数单调性的定义，进行判断即可；
（3）令y=-x，判断函数f（x）的奇偶性，可利用f（x）为奇函数，将要证，转化为：也就是去证明，即证明；而=f（n+2）-f（n+1），利用累加法，结合函数f（x）在（-1，1）上是减函数即可证明结论成立．
点评：本题考查抽象函数及其应用，关键在于判断函数为奇函数后，灵活应用“对任意x，y∈（-1，1），都有”判断函数的单调性．属于难题．